平行四邊形是一種極重要的幾何圖形．這不僅是因?yàn)樗茄芯扛厥獾钠叫兴倪呅唯D―矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)，還因?yàn)橛伤亩x知它可以分解為一些全等的三角形，并且包含著有關(guān)平行線的許多性質(zhì)，因此，它在幾何圖形的研究上有著廣泛的應(yīng)用．

　　由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

　　(1)平行四邊形對(duì)角相等；

　　(2)平行四邊形對(duì)邊相等；

　　(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．

　　除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

　　(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

　　(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

　　(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

　　例1 如圖2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分．

　　分析只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．

　　證因?yàn)?/FONT>ABCD是平行四邊形，所以

ADBC，ABCD，∠B=∠D．

　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而

AE=CF．

　　所以

　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以

△BEM≌△DFN(SAS)，

　　ME=NF． ①

　　又因?yàn)?/FONT>AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以

△MAF≌△NCE(SAS)，

　　所以 MF=NF． ②

　　由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分．

　　例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．

　　分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問題即可獲解．

　　證作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)?/FONT>BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而

△ABG≌△HBG(AAS)，

　　所以 AB=HB． ①

　　在△ABE及△HBE中，

∠ABE=∠CBE，BE=BE，

　　所以 △ABE≌△HBE(SAS)，

　　所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．

　　下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．

　　因?yàn)?/FONT>AD∥GH，所以

　　∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②

　　又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤?/FONT>BEA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以

∠AGB=∠GEH．

　　從而

EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．

　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以

FC=EH=AE．

　　說明本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．

　　人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問題是十分有益的．

　　例3 如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．

　　分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長EM與DC延長線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．

　　證延長EM交DC的延長線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以

△MCF≌△MBE(AAS)，

　　所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知

∠F=∠MDC，

　　又由已知MC=CD，所以

∠MDC=∠CMD，

　　則

∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．

　　從而

∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．

　　例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長線于F．求證：CA=CF．

　　分析只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．