§17．1集合

　　我們考察某些事物的時(shí)候，常常要考慮由這些事物組成的群體，我們把這個(gè)群體叫作集合．組成某個(gè)集合的事物，叫作這個(gè)集合的元素．通常用大寫字母A，B，C…等表示集合，小寫字母a，b，c，…等表示元素．如果m是集合A的元素，就說(shuō)m屬于A，記作m∈A．如果n

　　(i)你的家庭中所有成員組成一個(gè)集合，你和你的家庭中的其他各個(gè)成員都是這個(gè)集合中的元素．

　　(ii)自然數(shù)全體1，2，3，…組成一個(gè)集合(通常把它叫作自然數(shù)集)．

　　(iii)如果A，B是平面上兩個(gè)不同的點(diǎn)，那么A，B兩點(diǎn)所確定的直線上的點(diǎn)組成一個(gè)集合，這條直線上每個(gè)點(diǎn)都是這個(gè)集合的元素．

　　總之，集合是數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本、最常用的概念，下面進(jìn)一步給同學(xué)們介紹一些關(guān)于集合的基本知識(shí)．

　　1．集合的描述方法

　　(1)列舉法

　　當(dāng)一個(gè)集合所含元素個(gè)數(shù)較少時(shí)，一個(gè)最簡(jiǎn)單的描述方法就是把它所含的每個(gè)元素都列舉出來(lái)，這叫列舉法．用列舉法表示集合，通常是將這個(gè)集合的每個(gè)元素一一填寫在｛｝中，每個(gè)元素之間用逗點(diǎn)隔開．填寫集合的元素時(shí)，與元素的排列次序無(wú)關(guān)．例如：

　　(i)由a，b，c，d，e五個(gè)小寫字母組成的集合A，記作

A=｛a，b，c，d，e｝，

　　也可記作

A=｛b，a，c，d，e)．

　　(ii)由小于40的質(zhì)數(shù)組成的集合B，記作

B=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37｝．

　　(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C，記作

C=｛1，-1｝．

　　(iv)三條直線l₁，l₂，l₃組成的集合D，記作

D=｛l1，l2，l3｝．

　　(2)特征性質(zhì)描述法

　　當(dāng)一個(gè)集合所含元素較多時(shí)，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質(zhì)描述法．

　　所謂特征性質(zhì)是指集合中元素的特征性質(zhì)，即：(i)這個(gè)集合中每個(gè)元素都具有這些性質(zhì)；(ii)具有這些性質(zhì)的事物都是這個(gè)集合的元素．

　　例如，集合=｛1,-1｝用特征性質(zhì)描述法表示就是

A=｛x│x²=1｝，

　　或者

A=｛x││x│=1｝．

　　全體偶數(shù)組成的集合B，用特征性質(zhì)描述法表示就是

B=｛x│x是能被2整除的整數(shù)｝，

　　或者

B=｛2n│n是整數(shù)｝．

　　全體奇數(shù)組成的集合C，用特征性質(zhì)描述法表示就是

C=｛x│x是不能被2整除的整數(shù)｝，

　　或者

C=｛2n＋1│n是整數(shù)｝，

C=｛2n-1│n是整數(shù)｝．

　　一般地，用特征性質(zhì)α表示集合A的形式是：

A=｛x│x具有性質(zhì)α｝．

　　2．集合之間的關(guān)系和運(yùn)算

　　(1)包含與子集

　　(i)你班上的同學(xué)的集合和你學(xué)校的同學(xué)的集合之間的關(guān)系是：前者是后者的子集，后者包含前者．

　　(ii)設(shè)集合

　　例1 設(shè)A=｛1，2，3，4｝，試寫出A的所有子集．

　　｛1，3｝，｛1，4｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛3，4｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛2，3，4｝，｛1，3，4｝，｛1，2，3，4｝．

　　(2)交集運(yùn)算

　　對(duì)于給定的集合A，B，由它們的公共元素所構(gòu)成的集合叫作集合A與B的交集．我們用A∩B表示A，B的交集(圖2-88)．例如

　　(i)如圖2-89，設(shè)

A=｛x│x是12的正因數(shù)｝，

B=｛x│5＜x＜13，x是整數(shù)｝，

　　則

　　A=｛1，2，3，4，6，12｝，B=｛6，7，8，9，10，11，12｝．

　　所以 A∩B=｛6，12｝．

　　(ii)設(shè)l₁，l₂是平面上兩條不同的直線，則l₁∩l₂就是由它們的交點(diǎn)組成的集合．

　　如果l₁與l₂相交于一點(diǎn)P，則l₁∩l₂=｛P｝(圖2-90)；

　　(3)并集運(yùn)算

　　對(duì)于給定的兩個(gè)集合A，B，把它們所含的元素合并起來(lái)所構(gòu)成的集合，叫作集合A，B的并集，我們用符號(hào)A∪B表示A，B的并集(圖2-92)．例如

　　(i)設(shè)M，N分別表示你班上男生、女生的集合，那么M∪N就是你班上同學(xué)的集合．

　　(ii)設(shè)

A=｛1，3，5，7，9｝，B=｛2，3，4，5，6｝，

　　則 A∪B=｛1，2，3，4，5，6，7，9｝．

　　注意在求上述集合A，B的并集時(shí)，雖然在A，B中都有3和5，但在A∪B中，3，5只取一次．

　　(iii)設(shè)E=｛x│x是實(shí)數(shù)，且x≥4｝，

　　F={x│x是實(shí)數(shù)，且x≤-4}，G={x│x²≥16}．

　　則 E∪F=G．

　　一般地說(shuō)，如果α，β分別是集合A，B的特征性質(zhì)，即

　　A={x│x具有性質(zhì)α} ，B=｛x│x具有性質(zhì)β｝，則A∪B就是那些具有性質(zhì)α或性質(zhì)β的元素組成的集合，也就是

A∪B=｛x│x具有性質(zhì)α或β｝，

　　或者

A∪B={x│x∈A或x∈B}．

　　例2 設(shè)

　　A={x│x是12的正因數(shù)}，B={x│x是18的正因數(shù)}，

C={x│0≤x≤5，且x∈Z}．

　　求：(1)A∩B∩C；(2)A∪B∪C．

　　解根據(jù)已知條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來(lái)解決(如圖2-93(a)，(b)).

　　(1)A∩B∩C=｛1，2，3｝；

　　(2)A∪B∪C=｛0，1，2，3，4，5，6，9，12，18｝．

　　例3 設(shè)A={1，a，a²} ，B={1，a，b)，假定A，B中的元素都是整數(shù)，并且A∩B=｛1，3｝，A∪B=｛1，a，2a，3a｝，求a，b的值．

　　解因?yàn)?/FONT>A=｛1，a，a²｝，B=｛1，a，b｝，所以

A∩B＝｛1，a｝．

　　已知A∩B=｛1，3｝．所以a=3．又由于

　　A∪B=｛1，a，b，a²｝=｛1，a，2a，3a｝=｛1，3，6，9｝，所以b=6．

§17．2簡(jiǎn)易邏輯

　　邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學(xué)科．?dāng)?shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系非常密切，在此，對(duì)邏輯知識(shí)做一些初步介紹．

　　1．推出關(guān)系

　　如果設(shè)A={x│x是4的倍數(shù)}，B={x│x是2的倍數(shù)}，則A中元素具有性質(zhì)α――4的倍數(shù)；B中元素具有性質(zhì)β――2的倍數(shù)．我們知道：如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質(zhì)

　　一般地說(shuō)，如果具有性質(zhì)α的元素也具有性質(zhì)β，我們便說(shuō)由α推

　　下面再舉一個(gè)例子．

　　2．命題和證明

　　(1)命題和逆命題

　　人們?cè)谒季S活動(dòng)中，經(jīng)常要對(duì)客觀事物做出判斷．例如：

　　(i)雪是白的；

　　(ii)如果∠1和∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2；

　　(iii)3+4=6；

　　上述所列都是對(duì)客觀事物做出判斷的語(yǔ)句．人們對(duì)客觀事物的情況做出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯(cuò)誤的(假)．我們把肯定或否定的判斷語(yǔ)句叫作命題．上述語(yǔ)句(i)，(ii)，(iii)，(iv)都是命題．

　　關(guān)于命題的真假性，有些容易判斷，如(i)，(ii)是真命題，(iii)是假命題．但對(duì)(iv)的真假性就不是顯然可判斷的．可通過(guò)設(shè)x=1，y=0(x＞y)，那么

　　因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個(gè)命題為真命題，必須通過(guò)邏輯推演，但要證明一個(gè)命題為假命題只須舉出一個(gè)反例即可)．

　　數(shù)學(xué)命題具有多種形式，經(jīng)常采用的命題形式是“若α，則β”，“如果α，那么β”．

　　命題“若α，則β”或是真命題，或是假命題，二者必居其一．“若

　　當(dāng)由α不可能推出β時(shí)，“若α，則β”便是假命題．

　　在命題“若α，則β”中，α叫作這個(gè)命題的條件，β叫作這個(gè)命題的結(jié)論．如果將命題“若α，則β”的條件和結(jié)論互換，就得到一個(gè)新命題“若β，則α”，這兩個(gè)命題之間具有互連關(guān)系，其中一個(gè)叫作原命題時(shí)，則另一個(gè)命題就叫作這個(gè)原命題的逆命題．

　　當(dāng)“如果α，則β”為真命題時(shí)，它的逆命題“如果β，則α”不一定是真命題．例如：

　　(i)“如果2×3=6，那么6÷3=2”是真命題．它的逆命題“如果6÷3=2，那么2×3=6”也是真命題．

　　(ii)“若a=0并且b=0，則ab=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0，則a=0并且b=0”就不是真命題．

　　(iii)“如果∠1，∠2是對(duì)頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“∠1=∠2，那么∠1，∠2是對(duì)頂角”就是假命題．

　　(2)證明

　　我們要說(shuō)明“若α，則β”是真命題時(shí)，以什么方式來(lái)推證呢？最常用的基本格式就是推出關(guān)系的傳遞性，即：

　　如果

　　那么

　　例如，(i)若

　　∠1和∠2是對(duì)頂角，①

　　對(duì)頂角相等，②

　　則 ∠1=∠2．③

　　(ii) 張三是人，①

　　凡人必有死，②

　　所以張三必有死．③

　　上述推理格式叫作三段論式，推理中的①，②是兩個(gè)前提條件，①叫小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的結(jié)論．

　　實(shí)際上，三段論式和推出關(guān)系的傳遞性是一致的．例如“對(duì)頂角相等”的證明過(guò)程，可以像下面這樣來(lái)理解．

　　已知：∠1是∠2的對(duì)頂角(圖2-98)，求證：∠1=∠2．

　　證

　　從上述證明過(guò)程可知，要證明“若α，則β”，我們先設(shè)法找出一

　　應(yīng)用已經(jīng)被確認(rèn)的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過(guò)推演，導(dǎo)出某一命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡(jiǎn)稱演繹法)．演繹法是證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法．

　　　　　�。�a²＋b²＋c²

　　(a+b-c)²=a²+b²+c².

　　例2 某校數(shù)學(xué)競(jìng)賽，A，B，C，D，E，F，G，H八位同學(xué)獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰(shuí)是第一名．A說(shuō)：“或者F，或者H是第一名．”B說(shuō)：“我是第一名．”C說(shuō)：“G是第一名．”D說(shuō)：“B不是第一名．”E說(shuō)：“A說(shuō)的不對(duì)．”F說(shuō)：“我不是第一名．”G說(shuō)：“C不是第一名．”H說(shuō)：“我同意A的意見．”老師說(shuō)八個(gè)人中有三人猜對(duì)了，那么試問(wèn)第一名是誰(shuí)？

　　分解與解 由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必定一真一假．

　　(i)如果A與H猜對(duì)了，那么D與G也都猜對(duì)了．這樣就有四人猜對(duì)，不合題意，因此，A與H必定都猜錯(cuò)了．

　　(ii)如果E與F猜對(duì)了，即F與H都不是第一名，這時(shí)若B猜對(duì)了，那么D就猜錯(cuò)了，C也猜錯(cuò)了，G猜對(duì)了，這樣，就有E，F，B，G四人猜對(duì)，也與題意不符．因此B猜的不對(duì)，D猜對(duì)了，這時(shí)已有E，F，D三人猜對(duì)，所以G，C都必定猜錯(cuò)了，所以C是第一名．