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來源：初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)(初二分冊) 2005-09-08 22:28:54
所謂非負(fù)數(shù)，是指零和正實(shí)數(shù)．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在解題中頗有用處．常見的非負(fù)數(shù)有三種：實(shí)數(shù)的偶次冪、實(shí)數(shù)的絕對值和算術(shù)根．
1．實(shí)數(shù)的偶次冪是非負(fù)數(shù)
若a是任意實(shí)數(shù)，則a2n≥0(n為正整數(shù))，特別地，當(dāng)n=1時，有a2≥0．
2．實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)
若a是實(shí)數(shù)，則
性質(zhì) 絕對值最小的實(shí)數(shù)是零．`
3．一個正實(shí)數(shù)的算術(shù)根是非負(fù)數(shù)
4．非負(fù)數(shù)的其他性質(zhì)
(1)數(shù)軸上，原點(diǎn)和原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．(2)有限個非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，則
a1＋a2＋…＋an≥0．
(3)有限個非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零，即若a1，a2，…，an為非負(fù)數(shù)，且a1＋a2＋…＋an=0，則必有a1＝a2＝…＝an＝0．
在利用非負(fù)數(shù)解決問題的過程中，這條性質(zhì)使用的最多．
(4)非負(fù)數(shù)的積和商(除數(shù)不為零)仍為非負(fù)數(shù)．
(5)最小非負(fù)數(shù)為零，沒有最大的非負(fù)數(shù)．
(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有實(shí)數(shù)根的充要條件是判別式△=b2-4ac為非負(fù)數(shù)．
應(yīng)用非負(fù)數(shù)解決問題的關(guān)鍵在于能否識別并揭示出題目中的非負(fù)數(shù)，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的有關(guān)概念及其性質(zhì)，巧妙地進(jìn)行相應(yīng)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決．
解得a=3，b=-2．代入代數(shù)式得
解 因?yàn)?/FONT>(20x-3)2為非負(fù)數(shù)，所以
-(20x-3)2≤0． ①
-(20x-3)2≥0． ②
由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以
原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．
說明 本題解法中應(yīng)用了“若a≥0且a≤0，則a=0”，這是個很有用的性質(zhì)．
例3 已知x，y為實(shí)數(shù)，且
解 因?yàn)?/FONT>x，y為實(shí)數(shù)，要使y的表達(dá)式有意義，必有
解 因?yàn)?/FONT>a2+b2-4a-2b+5=0，所以
a2-4a+4+b2-2b+1=0，
即 (a-2)2+(b-1)2=0．
(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．
所以a=2，b=1．所以
例5 已知x，y為實(shí)數(shù)，求
u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值時的x，y的值．
解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3
=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2
=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．
因?yàn)?/FONT>x，y為實(shí)數(shù)，所以
(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以當(dāng)
時，u有最小值2，此時x=1，y=2．
例6 確定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的實(shí)數(shù)根的個數(shù)．
解 將原方程化為
a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，
即
(ax-1)2+x2+a2+3=0．
對于任意實(shí)數(shù)x，均有
(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故
(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0無實(shí)根．
例7 求方程的實(shí)數(shù)根．
分析 本題是已知一個方程，但要求出兩個未知數(shù)的值，而要確定兩個未知數(shù)的值，一般需要兩個方程．因此，要將已知方程變形，看能否出現(xiàn)新的形式，以利于解題．
解之得
經(jīng)檢驗(yàn)，均為原方程的解．
說明 應(yīng)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)“幾個非負(fù)數(shù)之和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)都為零”，可將一個等式轉(zhuǎn)化為幾個等式，從而增加了求解的條件．
例8 已知方程組
求實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn的值．
解 顯然，x1=x2=…=xn=0是方程組的解．
由已知方程組可知，在x1，x2，…，xn 中，只要有一個值為零，則必有x1=x2=…=xn=0．所以當(dāng)x1≠0，x2≠0，…，xn≠0時，將原方程組化為
將上面n個方程相加得
又因?yàn)?/FONT>xi為實(shí)數(shù)，所以
經(jīng)檢驗(yàn)，原方程組的解為
例9 求滿足方程｜a-b｜+ab=1的非負(fù)整數(shù)a，b的值．
解 由于a，b為非負(fù)整數(shù)，所以
解得
例10 當(dāng)a，b為何值時，方程
x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有實(shí)數(shù)根？
解 因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以△≥0，即
△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)
=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8
=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，
所以
2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，
-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，
-(a-1)2-(a+2b)2≥0．
因?yàn)?/FONT>(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以
例11 已知實(shí)數(shù)a，b，c，r，p滿足
pr＞1，pc-2b+ra=0，
求證：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有實(shí)數(shù)根．
證 由已知得2b=pc+ra，所以
△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac
=p2c2+2pcra+r2a2-4ac
=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac
=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以當(dāng)ac≥0時，△≥0；當(dāng)ac＜0時，也有△=(2b)2-4ac＞0．綜上，總有△≥0，故原方程必有實(shí)數(shù)根．
例12 對任意實(shí)數(shù)x，比較3x2+2x-1與x2+5x-3的大小．
解 用比差法．
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)
=2x2-3x+2
即
(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，
所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．
說明 比差法是比較兩個代數(shù)式值的大小的常用方法，除此之外，為判定差是大于零還是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了這兩個方法，使問題得到解決．
例13 已知a，b，c為實(shí)數(shù)，設(shè)
證明：A，B，C中至少有一個值大于零．
證 由題設(shè)有
A+B+C
=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3
=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．
因?yàn)?/FONT>(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．
若A≤0，B≤0，C≤0，則A+B+C≤0與A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一個大于零．
例14 已知a≥0，b≥0，求證：
分析與證明 對要求證的不等式兩邊分別因式分解有
由不等式的性質(zhì)知道，只須證明
因?yàn)?/FONT>a≥0，b≥0，所以
又因?yàn)?/P>
所以原不等式成立．
例15 四邊形四條邊長分別為a，b，c，d，它們滿足等式
a4+b4+c4+d4=4abcd，
試判斷四邊形的形狀．
解 由已知可得
a4+b4+c4+d4-4abcd=0，
所以
(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，
即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．
因?yàn)?/FONT>a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以
(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，
所以
由于a，b，c，d都為正數(shù)，所以，解①，②，③有
a=b=c=d．
故此四邊形為菱形．
練 習(xí) 八
1．求x，y的值：
4．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足條件
5．已知a，b，c，x，y，z都是非零實(shí)數(shù)，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，
6．若方程k(x2-4)+ax-1=0對一切實(shí)數(shù)k都有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．
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